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深度好文:小学数学应该学什么,怎么学?
原创 , 图片14
2021-1-11 19:05

导读: 这篇文章从酝酿到最后成文前后经历了两个月,修改了好多版。很多人都不清楚小学数学应该学什么,怎么学?这篇文章将带你深入剖析这一问题,告诉你孩子在小学阶段最应该建立起来的核心数学能力。 文章约7000字,若能沉下心阅读,必有收获。 之前写的《作业帮猿辅导清北网校,请停止你们拙劣的表演 》成为我公众号xuanbamath目前阅读量最高的一篇文章。这倒不是因为文中有干货,而是我认为这些广告宣传基本是强调记忆而忽略原理的速算,完全不值得炫酷,这一点得到了很多家长的高度认同。那么小学数学,或者更宽泛一些,中小学数学到底应该学什么,怎么学?

请先思考5秒种,再往下读! 



你的脑海里有没有浮现出下列场景?(1)背了好久的 九九乘法表;

(2)总有出错的 竖式 计 算;

(3)经常忘记除以2的三角形和梯形面积公式;

(4)恼人的单位换算;

(5)总也标不对位置的小数点;

(6)经常跳坑的 应用题。 

 

如果有,那你属于绝对有必要读本文的对象,请直接往下读。如果没有,请在留言区补充后继续往下读。 

数学学习的几点经验

我小时候学数学,很少有人教套路。不少人问我为什么高考数学能得满分,有没有什么经验。 我总结了以下几点。

(1) 重视基本概念

学好数学,搞清楚基本概念非常重要。其实,基本概念的重要性不仅仅是在数学领域,在整个科学领域都一样重要。 

 

已故的南大计算机系泰斗级人物徐家福先生就非常强调基本概念。他每次给学生做讲座,都要强调“基本概念、基本概念、基本概念!”没错,每次他都会重复三遍。 

 

欧几里得的平面几何奠定了西方公理化方法的基础。公理化方法是“从某些基本概念和基本命题出发,根据特定的演绎规则,推导一系列的定理,从而构成一个演绎系统”的方法。欧氏几何的数学大厦就是由基本概念(包括基本概念、基本关系)、公理、演绎规则和定理构成。其中,基本概念居于重要的位置。


很多数学问题,其实最终考察的是对基本概念的理解程度。但有些人却在基本概念和定义都还没有搞清楚的情况下,就去追求公式记忆和快速解题,这就有点本末倒置了。 

 

这里列举几个例子。

比如,提到圆,很多人都会立刻想到圆的周长和面积公式,而往往忽略了一个最重要的性质,即圆上的任何一点到圆心的距离都相等。

再如,高中时学的椭圆和双曲线,很多人都侧重于去记住椭圆和双曲线的代数方程。但是除了方程之外,这些曲线还有它们的几何意义。许多时候,这些几何含义往往可以成为解决问题的利器。

(2)重视结论背后的原理

我自己学数学,很少刻意去背公式和记结论。自己不理解的结论,很难记住,即便一时记住,也容易忘记或记错。

比如小学低年级的植树问题、乘法分配律,我肯定会通过数形结合的方法去加深理解。

我记得某个培训机构为了让孩子记住乘法分配律,用了个警察抓小偷的故事来辅助记忆。但如果用下面数形结合的方式来辅助理解乘法分配律,是不是想忘记都难?

现在很多机构都大力宣传各种速算技巧,这些其实完全没有必要刻意去学。每一种速算都有它的适用范围,一不小心就容易搞混、记错。数的位值表示、交换律、结合律、分配律、因数分解等,才是各类速算技巧背后的核心原理。 

 

类似于 “用1、2、3、4、5这五个数字组成一个三位数和一个两位数,使得两个数乘积最大”的问题,我更不会去记给自己的思想戴上枷锁的所谓“U型图解法”。 

除了上面的简单例子,包括等差数列求和、等比数列求和、以及大部分三角公式,我也不会刻意去记公式,而是重视这些公式的推导过程。这样习得的知识,才能记得牢、用的活。 

 

(3)有一股钻劲 
这一点可能是不少孩子在学数学过程中所欠缺的。特别是现在很多培训讲究套路,而不重视探索的过程,最后纯粹变成了比谁见过的套路多。孩子一旦碰到没有见过的问题,就容易产生畏难情绪,容易放弃。


学好数学必须要有一股挑战难题的韧劲!如果不经常花一两个小时或更长的时间去“啃”一道难题、消化难题,那数学是很难学好的。即便一段时间考了高分,那也不值得沾沾自喜,因为这种高分往往是昙花一现,难以持久。

《原本》的作者欧几里得曾说过“几何无王者之道”。这一点我非常赞同。包括几何在内的所有数学学习都没有捷径可循。 一切宣称可以快速提分的,往往都是饮鸩止渴。数学问题可以千变万化,只有修炼好内功,才能以不变应万变!

(4)形成了一套自己的解题模式

不少人追求刷题量,最后导致解数学问题纯粹变成了肌肉记忆和条件反射。我曾和一些孩子聊过,他们虽然可以条件反射式地快速给出一些问题的答案,但据我观察,不少时候他们并没有理解问题的本质。

我自己不推荐海量刷题,但这并不是说不做题。不解题肯定学不好数学,关键是解题的方法。怎么才能做到解一题当十题的效果?关于这一点,也可以参考我之前的文章《奥数冠军教你如何解题》。 
经过这么多年的实践,我形成了一套自己的解题模式,自认为可以最大化解题的效果。具体地,可以将解题的整个过程分为应试和提升两个阶段。

应试阶段分为五步: 
第一,仔细读题审题。这一步很重要,千万不要图快,最好题目读上两遍,揣摩清楚出题人的意图。

第二,观察联想。观察、识别问题的结构和模式,并与自己知识结构中的已知问题进行分析、对比。

第三,探索和求解。在这个过程中,很多时候都是通过类比、归纳寻找解题的思路。在小学阶段,这个过程对于提升孩子的数学能力非常重要,类比和归纳是人类解决未知问题的法宝。当然,探索和求解的方法还有许多,我以后会慢慢写。

第四,永远不要忘了问“是否是唯一解?”。这一步也很重要,非常考察思维的完备性。一道题10分,如果有2个答案,你只答了1个,那就只得5分。找出其它所有解,或者证明解就是唯一的,在数学上非常重要。

第五,学会验算。验算并不是简单地将问题重新做一遍,而是一门学问。关于验算的内容,完全可以写上一整篇文章。我这里只讲几点:首先,验算方法千万条,读对题目第一条,确保没有读错题和会错意是最重要的;其次,要即时验算、步步为营;最后,验算方法多种多样,要选择最适合所给问题的方法,包括代入法、殊途同归法、特殊值法、实验验证法、估算法等。

如果是应试,那么,到这儿解题就结束了。但作为平时的练习,到这里还远远不够。后面的思考才是对提升数学解题能力作用最大的。就好比健身,当你开始出汗的时候,后面一段时间的坚持才是锻炼效果最好的。 
 

那么还需要做什么呢?

第六,需要拷问自己:所采用的方法是否可以扩展?

比如当问题规模n=10的时候方法可以用,当问题规模n=1000的时候方法还能不能用?

第七,永远要问自己,是否有其它解决方法?

努力做到一题多解,并学会分析每种方法的好坏和适用条件。一般而言,效率和普适性往往是一对矛盾体。

第八,变换角色,把自己当成出题人。

想一想如果自己来出题,可以怎么改变出题条件,真正做到举一反三。

如果能够做到这些,那我相信数学解题能力想不提升都难。

学数学可以培养孩子的哪些能力和习惯?
 

虽说现在很多学科都可以培养孩子的思维能力,但无疑,数学依然是最好的思维体操。 

 

通过数学学习,可以培养孩子的抽象能力、推理能力和解决问题的能力,并锻炼公理化系统方法。具体地,我觉得可以培养孩子的12大能力和6大优秀的品质(注:这些词有些是我自己总结和发明的,肯定有不周全的地方)。这些能力和品质,对孩子日后的工作和生活具有非常积极的意义。

基础教育阶段数学能力培养的重点是什么?

小学阶段,类比推理和归纳推理应该是重点培养的数学推理能力。等小学高年级和中学阶段,演绎推理将逐渐扮演更重要的角色。 
 

类比推理


类比推理是根据两个(或两类)事物的某些属性相同或相似,推出它们另一属性也相同或相似的推理方法,是一种从特殊到特殊的推理方法。 
听着很玄乎?其实说白了就是依葫芦画瓢。

比如,知道圆的定义是由所有到圆心的距离相等的点构成的集合,那么三维中球面的定义应该是由到球心的距离相等的点构成的曲面。 
又如,我们知道在十进制中,被9整除的数的特征是各位数字之和能被9整除,这一结论可以基于数的位值表示推导得出,例如:

297=2×102+9×10+7

=2×(99+1)+9×(9+1)+7

=2×99+9×9+2+9+7

因此,297能被9整除当且仅当其各位数字之和2+9+7能被9整除。 
 

类似地,我们可以做这样的类比:7进制中,被6整除的数的特征是各位数字之和能被6整除。其结论也可以类比十进制的推理得出。

435(7)=4×100(7)+3×10(7)+5

=4×(66(7)+1)+3×(6(7)+1)+5

=4×66(7)+3×6(7)+4+3+5

因此,435(7)能被6整除等价于4+3+5能被6整除。

再看一个几何的例子:

下图的正方形边长为1,首先被分成四个相等的正方形,将左上角涂色,然后再将右下角正方形的一分为四,将左上角的涂色。如果我们一直持续这一过程,那么最后被涂色的部分占整个面积的多少? 
 


这个问题最直接的做法是利用小学生无法理解的无穷级数求和。如果不用无穷级数求和,可以这么考虑:去掉右下角的1/4块后,剩下的这部分,涂色部分是剩下部分的1/3(如下图左)。


在剩下的1/4块里,我们再去掉这个1/4块的右下角,那么涂色部分依然占整个面积的1/3(如上图右)。依此类推,每次都抠掉右下角的一小块,涂色部分的面积在不同的尺度上都是整个面积的1/3,因此整体上涂色部分面积为整个正方形面积的1/3。

基于这个小学生能理解的思路,我们可以类似地解决下面这个问题: 在下面的黄色正三角形ABC中,分别取三边的中点D, E, F并分别连接,然后分别取DE, EF,DF三边的中点H, I, G,并将ΔDGH, ΔEHI, ΔGIF涂成蓝色。接着,对中间的小三角形GHI重复上述同样的操作。如果这一操作一直持续下去到永远,请问,图中涂成黄色部分的面积占整个正三角形面积的几分之几?

但是,由于类比推理的逻辑根据是不充分的,带有或然性,具有猜测性,不一定可靠,不能作为一种严格的数学方法,因此还须经过严格的逻辑论证,才能确认猜测结论的正确性。

比如,“这篇小说只有1000字,文字很流畅,这篇小说得奖了。你写的这篇小说也是1000字,文字也很流畅,因此也一定能得奖。”这样的类比无疑会得出错误的结论。 
人类一直希望能找到适合生命存在的外星系类地行星,这就是一种类比推理。根据行星的构造、温度、距离恒星的远近等方面具有与地球类似的特征,因此推断其可能也应该有生命存在。这样的推理结论,并不一定正确。

归纳推理


归纳推理则是由部分到整体,个别到一般的推理过程,是 由一定程度的关于个别事物的观点过渡到范围较大的观点,由特殊具体的事例推导出一般原理、原则的方法。 
听着高大上?其实就是找规律! 
应该说,归纳推理能力的培养对于解决未知问题具有重要的作用,是小学阶段应该花力气重点培养的主要能力之一。

先看一个简单的问题:2,5,8,11,…,这个数列的第100项是多少? 
这个问题,显然需要在特殊的基础上进行归纳,从第二项起,每一个都是在前一个基础上加3,那么第100项应该是在第1项的基础上加99个3,即为2+99×3。更一般化地,第n项的通项公式应该是2+(n-1)×3。

再如,我们知道三角形、四边形、五边形的内角和分别为180°,360°,540°,据此,我们可以归纳出n边形的内角和应该是(n-2)×180°。

再看下面这个问题: 有100个边长为1的正三角形如下图所示排成一行,请问图形的周长是多少?

我们不妨从1个正三角形开始做初步的探索:

正三角形个数 周长

1 3

2 4

3 5

4 6

据此,我们可以归纳出n个正三角形按上面的方式排列的周长为n+2。 
如果我们把正三角形换成正五边形,100个边长为1的正五边形如下图所示排在一起,周长为多少?

我们同样也可以从1个正五边形开始做如下的探索和归纳: 
 

正五边形个数 周长

1 5

2 8

3 11

4 14

据此,可以归纳出n个正五边形按上述方式排列,周长为3n+2。

上面的结论,当然可以进行严格证明。从图中可以看到,除了头尾两个正五边形贡献了4条边,其余n-2个正五边形都贡献了3条边,因此周长为4×2+3×(n-2)=3n+2。 
 

最后再来看一个稍微复杂一点的问题:

有1个水龙头,6个人各拿一只水桶到水龙头接水,水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟.怎么安排这6个人打水,才能使他们等候的总时间(包括自己的打水时间)最短,最短的时间是多少?

这个问题,也可以从归纳开始。

首先,假设只有2个人,所需注水时间分别为3分钟和4分钟,那么按照注水时间有3、4和4、3两种排列。显然,按照前一种排列方式打水,等候的总时间最短,为3+(3+4)=10分钟。

再假设有3个人,所需注水的时间分别为3分钟、4分钟、5分钟,那么有:

注水时间的排列顺序等候的总时间

3、4、5 22

3、5、4 23

4、3、5 23

4、5、3 25

5、3、4 25

5、4、326

可以看到,按照3分钟、4分钟、5分钟的顺序打水,等候的总时间最短。

据此,可以大致归纳出下面的结论:为了让所有人等候的总时间最短,应该按照注水时间从小到大的顺序排队打水。

但这个归纳到底对不对,还需要严格的证明。

证明方法不止一种,这里只介绍一种基于整体思维和递归思维的方法。

假设6个人最后打水的先后顺序为:a, b, c, d, e,f, 各人需要的注水时间也用a, b, c, d, e, f表示,那么总的等候时间为:

a+(a+b)+(a+b+c)+(a+b+c+d)+(a+b+c+d+e)+(a+b+c+d+e+f)

=6a+5b+4c+3d+2e+f

=5a+4b+3c+2d+e+(a+b+c+d+e+f)

=5a+4b+3c+2d+e+35

要使得和最小,最后一个式子中消失的f应该是最大的,即10分钟,剩下的a, b, c, d, e为5,4,3,7,6的一个排列。

基于递归的思维,重复这一分析过程,可以得到e=7,d=6,c=5,b=4,a=3。

事实上,许多物理定律的发现,也都依赖于对大量数据的观测和归纳,比如开普勒发现的行星运动定律。从这个意义上讲,对数据的拟合就是一种归纳。 
 

当然,上面所提到问题的归纳最后是可以进行严格证明的。但是,有些通过特殊归纳出的一般结论却并不一定正确,或者,很难被证明或证伪,从而变成了著名的数学猜想。 


例如,大名鼎鼎的哥德巴赫猜想就属于这样的归纳结论。


哥德巴赫猜想:任何大于2的偶数都可以表示成两个质数之和。


比如4=2+2,6=3+3,8=3+5,10=5+5,这个结论对于特殊值都成立。但通过归纳得出的一般性结论,经历了这么多年都未能得到证明或证伪。 
此外,规律不一定唯一,同样的观测值,可以得出不同的可解释的归纳结论。比如下面这个: 

1,2,4,8,_____ 

按照大部分人的直觉,后面都会填16。 

但是,填15也行。为什么?如果你去研究一下0刀、1刀、2刀、3刀、4刀分别最多能把西瓜切成多少块,就会发现是1,2,4,8,15这个序列。如果有疑问,可以看我的书《给孩子的数学思维课》。 

填14也行。为什么?如果你去观察一下0个圆、1个圆、2个圆、3个圆、4个圆分别最多能把平面分成多少份,就会发现是1,2,4,8,14这个序列。


事实上,只要是有限个数,空格处填任何数都可以通过合适的多项式进行拟合。 
 

演绎推理

而到了初中以后,演绎推理就显得更重要。 
演绎推理是指从一般性的前提出发,通过推导即“ 演绎”,得出具体陈述或个别结论的过程。演绎推理是一种确定性推理,是前提与结论之间有必然性联系的推理。 
最著名的演绎推理是下面的三段论: 

 

所有的人都会死。

苏格拉底是人。

所以,苏格拉底会死。 
 

在我们的数学课程中,演绎推理在平面几何中用的最多。这里举一个例子。 
证明三角形的内角和是180°。 

在小学的课本里,是通过类似于下面的实验方法,把三角形的三个角剪下来,拼在一起,发现正好是一个平角。 
 


这种方法当然不能算是一种证明。严格的证明需要演绎推理。 
首先,如下图所示,延长BC至CD。在ΔABC中,过C点做BA的平行线至CE。 
 


由于BA//CE, 所以有: 

∠DCE=∠B(同位角相等)

∠ECA=∠A(内错角相等)

因此: ∠A+∠B+∠C =∠ECA+∠DCE+∠ACB =180°


如果要进一步深究一下,为什么同位角和内错角相等?那我们还要搬出欧几里得平面几何五大公设中的第五条,它是这么说的:


同平面内一条直线和另外两条直线相交,若在某一侧的两个内角和小于二直角的和,则这二直线经无限延长后在这一侧相交。


这句话的逆否命题是:同平面内一条直线和另外两条直线相交, 如果后面两条直线无限延长后在某一侧不相交,那么这一侧的两个内角和不小于两个直角的和(即 180 °)。 
 


由于两条直线平行,所以这两条直线在任何一侧都不相交(注:这一结论只限欧氏几何范畴)。那么两侧的两个内角和都不小于 180 °。而四个内角加起来是 360 °,只能是每一侧的两个内角和均为 180 °。再根据平角是180°,可以进一步推出同位角和内错角相等。

只有掌握了演绎推理,才算是真正步入了数学的大门。 

所以,什么才是我们最应该学的? 
不是那些让人眼花缭乱的各种技巧,而是基本概念、基本关系、基本规则、基本原理和基本推理方法,以及不畏艰难和追求卓越的品质! 
(全文完) 

欢迎关注我的公众号xuanbamath,并阅读我的新书。
 


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14天前
哈哈。在小花生偶遇微信好友是什么感觉~
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