中小学数学为什么是这样的?(中)
原创 , 图片12
2018-8-8 06:03

上回讲了代数算术几何和各类数,这回接着往下讲。本来是想直接来个下篇完结的,但写着写着发现比想象的多很多,只好弄了个中篇,把很多内容放到下篇中去了。好在下篇也已经写了大半,很快就会完成了:)

方程

方程这块其实是在代数里的,但代数的东西太多了,全堆在一起讲比较凌乱,还是把方程单独拿出来吧。从列方程解方程开始,中小学数学就从算术进阶到代数了。用方程解决实际问题,是数学在各个自然科学领域应用的最基本方式。牛顿开创了用数学方程描述物理定律的全新局面,从此列方程解方程就成为自然科学领域的最基本方式问题求解。列方程解方程也如上篇说过的,是一个数学建模解决问题的标准过程,先把实际问题变成数学方程描述,然后解方程过程就基本在数学世界里按照数学规律进行,中间结果不一定对应现实世界中的实体,但最后的结果必须映射回现实世界,就是我们期盼的解。

解方程的基本思路是多元变一元,高次变低次。中学学过的二元一次乃至N元一次方程,一般采用的消元法,就是大学线性代数中的高斯消元法。这可以引申到矩阵行列式等矩阵分析的内容。线性代数在几何意义上与线性空间紧密相连,但这种关联一般在中小学数学中不会提及。

高次变低次,中学主要围绕一元二次方程学习。一元三次或四次基本不涉及,因为其技巧过于复杂,而且有复数运算,连大学数学课程一般都不会去摆弄这类奇技淫巧。文艺复兴以后,欧洲尤其是意大利数学家对此进行了大量研究,得出了三次和四次方程的求根公式,但五次方程一直悬而未决,直到上篇中提到过的法国天才数学家伽罗瓦创立了群论后才圆满解决:一元五次(含)方程以上没有通用求根公式,只有某些特定形式才有求根公式。根的存在性是另一个问题,没有求根公式,但根还是存在的。代数学基本定理(https://baike.baidu.com/item/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86/18104?fromtitle=%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86&fromid=10920089)说的是N次方程在复平面正好有N个根,每个根要么是实数(可能有重复根),要么是共轭复数成对出现。至此,一元N次方程的可解性问题算是圆满解决了。至此回头小结一下,阿傩、伽叶为中学生挑选了一元二次方程学习,非常合理。

在方程的世界中,能够得出解析解的其实是少数,绝大多数方程是没法得出解析解的,这就类似前面说的无理数要比有理数多得多。对于这类问题,数学理论上要解决解的存在性问题,而数学应用上要用数值方法求出近似解,尤其是在计算机发明以后。高等数学中的数值分析方法,主要就是解决这类问题,其开端大致要追溯到牛顿迭代法。我印象中以前看到过为数不多的关于迭代的数学竞赛题,后来才明白其实是牛顿迭代法的特例。

多项式、因式分解等中学初等代数的学习与反复练习,其主要意义是为了解方程推导而用。其中的各种技巧,是大约三千年来由世界各国数学家慢慢总结出的,比如西方的丢番图(https://baike.baidu.com/item/%E4%B8%A2%E7%95%AA%E5%9B%BE),我国的杨辉(https://baike.baidu.com/item/%E6%9D%A8%E8%BE%89/24967)。我国代数学尤其是解方程在宋朝和元朝达到顶峰,同时配以古代最先进的计算工具算盘,为我国古代科技文化的繁荣做出了巨大贡献。可惜这些科技在明朝渐渐失传,搞历法的后来都看不懂宋元前人的计算,解方程也把老本丢了,以至于后来一直落后。

杨辉三角

高等数学中由于引入了微积分,很自然的将很大精力放在了解微分方程上。物理方程大多是(偏)微分方程形式,这催生了数学物理方程这门分支的快速发展。这里除了一些能得出解析解的方程外,绝大多数方程的解也是非解析的,在工程应用上要靠数值方法去计算。

麦克斯韦电磁学偏微分方程组

解析几何

把各种曲线放置到坐标系中,用方程描述曲线,把几何问题变为代数方程问题,是解析几何的本质。这是法国数学家笛卡尔的重大贡献,在欧氏几何逻辑体系外,开辟出了一片全新的几何领域。有时候也可以反过来操作,把一些代数方程问题转化为几何图形进行研究。理论上所有欧氏几何的逻辑证明题,都可以化成解析几何问题进行证明,只不过有时候计算过于复杂。

笛卡尔

解析几何的创立,为代数与几何的紧密结合卖出了坚实的一步,为微积分、函数分析等高级内容的诞生奠定了基础。由于突破了欧氏几何的桎梏,让数学家们脑洞大开,各种不同类型的几何分支也大量出现,比如射影几何、画法几何,对地图绘制、机械制图乃至绘画艺术都产生了深远影响。

三角函数

几何学发展的同时,三角函数就同步开始发展了,毕竟欧氏几何逻辑证明不能解决具体的土地丈量问题。中学数学里学习了大量三角函数公式以及运算技巧,这些技巧在历史上耗费了数学家大量时间进行研究。更一般的来说,中学生学习数学并大量练习的东西,基本也是微积分发明之前各国数学家耗费大量时间研究的东西。这些领域在微积分等更先进工具发明后,要么是因为没有更多的研究价值而走向了死胡同,要么是融入了更高级的数学工具之中。三角函数属于后者。微积分学里面大量研究了三角函数的性质,比如展开形式,让人们对三角函数的本质有了更深的理解。大学以后的数学较少直接再触及三角函数的运算技巧,大量的三角函数公式以较为隐晦的方式融入到了复变函数分析中,从而使得人们在实际工程应用中不必再直接接触三角函数的和差化积等技巧性太强的东西。

在函数分析,往往将函数看作函数空间中的向量,而函数空间的坐标轴叫做基函数。基函数可以选取一族多项式,也可以选取一族三角函数(对应不同频率),这在无线电应用、量子力学等领域有广泛引用。一个波有波函数,从函数分析角度可以把这个波函数看作无数个不同频率的三角函数叠加,也就是全频段分解,调幅无线电调制解调能够成立就是基于这个原理,不同频率的电台的信号,各自搭载在不同频率上。量子力学中涉及波动理论,解量子力学中的方程,往往得到的也是三角函数为基的解。

无线电信号调制

集合论

物理学在宏观(宇宙学)和微观(核物理)两个方向发展,数学也有类似的情况。微分学、函数分析,可以看作在微观角度解析数学,而集合论、代数结构、矩阵分析等则是在宏观层次上结构研究一群数学实体的性质。

中学的数学中包含了集合论的初步内容。实际上把集合元素看作操作数,集合的并、交、补看作运算符,这就回到了(上)篇的代数结构内容,即集合以及其上的操作也构成一种代数结构。集合论的发展,配以关系、映射等概念的完善,提供了一种形式化归类数学元素的方式,使得很多复杂理论比如测度论得以在其基础上以更简洁的方式建立起来。

在集合论渗透到数学各个分支后,人们意外的遇到了第三次数学危机(https://baike.baidu.com/item/%E7%AC%AC%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%8D%B1%E6%9C%BA)。罗素悖论:如果存在一个集合A={x | x∉ A },那么A∈A是否成立?如果它成立,那么A∈A,不满足A的特征性质。如果它不成立,A就满足了特征性质。翻译成通俗语言,就是自相矛盾:一个集合由所有不属于它的元素组成。凭直觉我们能知道这非常荒谬,但数学家们却为此不安,竭尽全力解决这种悖论,并引发了现代数学的巨大革命。

神探狄仁杰中有一段,狄仁杰一行要进入波斯人控制的山谷,在门口遇到问题“你来这里的目的是什么”,回答对了才能进去,但对错与否只能由谷中人判断。乍一看这无解,因为对错不由自己,他要是硬说你错了怎么办?我看到这里哈哈大笑,这不就是个悖论问题吗?看来剧组里有理工科的啊。狄仁杰的回答跟我预期的一样:“我来这里就是要被拒绝进入的”。这令谷里人无论认为他的回答是对是错都得放他进去,于是狄仁杰一行得以顺利过关。

数列

数列的实质仍然是代数的范畴。很多实际问题列方程就会得到递推形式,如果不采用这种方法则问题往往很难解决。比如经典的上楼梯问题,有N级楼梯,每次只能上一级或两级,一共有多少种不同的上法?设N级楼梯有F(N)种上法,如果第一步上一级,则剩下N-1级,如果第一步上两级则剩下N-2级,于是F(N)=F(N-1)+F(N-2),边界情况F(1)=1,F(2)=2。这显然是个斐波那契数列1 1 2 3 5 8 13 21……。顺带说一句,斐波那契数列的递推形式是齐次,一种通项的解法是用一元二次特征方程X2-X-1=0求出两个无理数根,根据边界情况确定系数,从而得到通解形式:

这个通解很有趣,引入了无理数,但验算一下的话会发现每一项都是整数,里面的无理数项总是会消去。这是唯一的通解形式,无理数是不能回避的。回顾(上)篇中我举的三次方程求根公式中有虚数,如果解是实数的话则虚数项会自然消去。那里是为了证明虚数的必要性,而这个斐波那契数列的例子则是证明无理数的必要性。明明是自然数问题,却一定要迂回到无理数才能解决。顺带再提一下,该数列越往后相邻两项的比值越接近黄金分割值0.618...(你可以算算13/21是不是已经很接近了)。

中学数学中的数列仅涉及初等运算范畴。在数学竞赛中从找规律填空缺数字到复杂解答或证明题都有,有些甚至难度很大。高等数学中的数列涉及很广,比如递归论(计算机算法理论的重要数学研究分支)、级数(收敛判定,微积分理论基础)和随机过程论中的以时间为函数的随机变量等。

极限

中学数学涉及了一些极限的入门知识,这是为大学微积分做准备。在牛顿和莱布尼茨创立微积分的时代,微积分还很不严密,很多数学家都表示怀疑,以至于产生了第二次数学危机。牛顿以后很多数学家对微积分进行了大量深入细致的研究,同时进行了大量简化工作,这其中主要贡献之一是德国数学家魏尔斯特拉斯给出的今天大学数学分析教科书中一直沿用的连续函数的定义(ε-δ定义)。实际上在牛顿身后两百多年里,数学家的主要工作就是把微积分严密论证,把所有初等数学应用都用微积分重新描述并研究一遍,还有运用微积分解决以前初等数学无法解决的问题。中学物理里的公式都是初等数学函数公式,而大学普通物理里绝大多数公式都是微积分形式,比如牛顿第二运动定律里的加速度,是个二阶导数。微积分是初等与高等数学的分界点。

微积分还是代数与几何结合的重要一环。曲线的切线与斜率与微分相关,函数曲线下的面积,与积分密切相关。在掌握微积分之后,大量的几何问题可以用微积分这个通用工具解决,而不再需要具体问题构造具体解法(如果不记得球体积公式是怎么得来的,可以回去看看高中数学教材,里面用了个很难想到的古人发明的技巧,圆柱里面套了个倒圆锥)。

那种认为“牛顿还不如现在一个中学生”的观点,是极端幼稚的。别说中学生,就算是非数学专业的理工科学生,绝大多数关上书本根本解释不清楚微积分是怎么回事,顶多记得几个公式而已。即便明确告诉他们“定积分和不定积分是各自独立发展的,而微积分理论中的核心牛顿莱布尼茨定理,恰恰是把这两者结合起来奠定微积分基础的最关键一环”,恐怕还是没有多少人能说明白这里的含义。这并不奇怪,因为一般的微积分概率或者简明微积分,主要侧重点是微积分应用,要搞清楚微积分的根本原理,必须要系统学习无穷数列收敛,级数求和收敛,甚至实函数分析等内容。一个中学生,也许知道一些牛顿也不知道的物理定律,但并不清楚原委,即便突然穿越到古代也无法说清楚让大家信服,只能被当作歪理邪说,弄不好要上火刑柱。

微积分的思想并非牛顿和莱布尼茨首创,实际上在古代数学中就早已蕴藏微积分的种子。古希腊的芝诺悖论-阿基里斯追不上乌龟,飞矢不动悖论(https://baike.baidu.com/item/%E8%8A%9D%E8%AF%BA%E6%82%96%E8%AE%BA),祖暅原理(https://baike.baidu.com/item/%E7%A5%96%E6%9A%85%E5%8E%9F%E7%90%86),割圆术计算圆周率,都与微积分的原理相通。古代世界最接近发明微积分的数学额家大概要算阿基米德(https://baike.baidu.com/item/%E9%98%BF%E5%9F%BA%E7%B1%B3%E5%BE%B7/121228)了,他能运用逼近法计算各种复杂形状的面积体积。如果不是罗马人入侵,很可能微积分的发明权就轮不到牛顿和莱布尼茨争夺了。

阿基米德洗澡时想出浮体原理,解决国王皇冠真假问题

微积分的一个重要理论泰勒展开,成为了日后函数分析理论的基础。从其展开形式看,如果把X的次方看作不同的坐标轴,则函数可以看作X次方组成的空间中的向量。把这个空间在加上范赋(定义长度与距离,往往用勾股定理或别的函数),这意味着函数存在于一个无穷维的空间中。函数分析就是在这样一个无穷维空间中结合几何来分析函数,研究并揭示其本质。计算机是人造的,生来就适合处理数值,而人是自然产生的,生来就习惯分析处理几何空间里的概念。人对一串数字往往感到枯燥,而对曲线图、柱状图这类几何图形较为敏感,容易理解其直观意义。数学家也是人,把枯燥的函数变换成函数空间中的向量,较容易激发直观思维,产生灵感,完成复杂的数学推导过程。不同函数空间可以互相变换,这就产生了傅立叶变换、拉普拉斯变换、小波变换等,其实质跟用对数把乘法变为加法是一样的,只不过其数学过程复杂很多,而且要引入微积分运算。

泰勒展开

中学数学中很多东西比如三角函数、平方根、立方根、对数要用到数学用表。在微积分之前这类表格的制作非常复杂,计算量很大。在泰勒展开发明后,数学家很快发展出了大量的级数公式,用以快速计算各类函数值,用于制作数学用表。泰勒展开是迭代计算的,误差项有明确的上界分析,这些都是很好的特点。在计算机发明后,数学用表的计算与验证,就更为迅捷了。

圆周率的计算也因此获益诸多。圆周率的计算,大体上有四种方法。第一种是测量法,拿绳子围着圆周量长度,除以半径,多弄几次,求平均数。这显然很不精确,要获得小数点后很多位,几乎不可能。第二种是中国古代数学家用勾股定理发展的割圆术(一说是阿基米德最早发明的),用多边形逼近圆周。第三种是泰勒展开发明后发展出的各种各样的级数求和公式。在计算机发明后,这也是求圆周率的通用方法,而且常常被用来测试计算机的性能。第四种是用概率方法,比如往一个正方形里随机丢硬币,统计落在内切圆里的概率。由于内切圆与正方形的面积比是圆周率/4,可以从概率倒推出圆周率。粗看上去这个方法很不精确,但随着统计学的发展,计算机随机模拟的出现,这个方法又获得了新生。该方法又叫做蒙特卡罗模拟(https://baike.baidu.com/item/%E8%92%99%E7%89%B9%E5%8D%A1%E7%BD%97%E6%A8%A1%E6%8B%9F),在现代计算机人工智能领域大放光彩,也是计算机围棋AI阿发狗的核心原理之一。

Image result for 圆周率公式

圆周率的不同级数求和形式

蒙特卡罗方法求圆周率

大学非数学物理专业一般学的是简明微积分,只涉及实数域上的微积分。实际上微积分作为运算符,可以推广到别的空间,比如复平面和函数空间,在其上微积分的定义也有相应变化。积分常常在函数空间作为函数向量正交(垂直)的判定算子,以此为基础定义并拓展空间(想象一下人类对这类空间而言就是上帝,非常有趣的)。

超越微积分?

我们把微积分以前的数学称为初等数学,微积分以后的称为高等数学,这个是相对于我们目前的数学知识范畴而言的。虽然现代数学已经发展到玄乎其玄的地步,但其实质仍然在微积分的范畴之内,辅之以各种数学技巧。

事物的发展总是量变引起质变。将来会不会发明出一种更高级的数学工具并引发数学的全面革命,产生“高高等”数学呢?我相信是一定会的。微积分的发明是建立在大航海两百年的基础上的,也许将来的“高高等”数学的诞生必须要在人类飞出太阳系后才能发生。前面提到了在古典时代数学家就在初等数学里埋下了微积分的种子,那么可以推测现代高等数学里一定也埋下了“高高等”数学的种子,只不过现在还没有足够的条件让其成长并收获,但将来一定会有这一天的。到那时,我们会发现现在高等数学里的很多难题,在“高高等”数学里会变得非常容易,很多现在看来毫不相关的问题在“高高等”数学里可能用一种通用方法就可以解决。

未完待续。。。

下篇中会给出完结。下篇中涉及很多应用数学与计算机科学,更精彩:)

归巢鸟文

回应13 收藏83
4月前
提纲挈领的好文章,必须得赞一个!
4月前
学霸就是学霸,这些我都忘得差不多了😂
4月前
期待更精彩!🌹
4月前
写的分类清晰,讲解在我多看好几遍后都较为清晰. 上篇讲小初,中篇主要讲高本研. 我女儿以后有福了.
4月前
看到数学就头大的妈妈飘过吧😭😭
4月前
真是担心孩子将来遗传我呀😭😭😭😭
4月前
小语752 看到数学就头大的妈妈飘过吧😭😭
膜拜!👍
4月前
猫猫🐱 写的分类清晰,讲解在我多看好几遍后都较为清晰. 上篇讲小初,中篇主要讲高本研. ...
你总结的比我好😀我还真没想到上中的差别😀
4月前
jianzeng1977 学霸就是学霸,这些我都忘得差不多了😂
你别谦虚了,高考数学比我分高😀
4月前
归巢鸟 你别谦虚了,高考数学比我分高😀
我就是考试型选手,考完学文科就忘光了😢
4月前
jianzeng1977 我就是考试型选手,考完学文科就忘光了😢
是啊,你考研也超高分,410/500?😀
4月前
归巢鸟 是啊,你考研也超高分,410/500?😀
你记性怎么那么好的!
4月前
jianzeng1977 你记性怎么那么好的!
现在不行了,以前的事情记得清,近的反而模糊了
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