2017 2011
数学 | 2的-2次方等于几?一年级的娃也能自己琢磨出来
原创 , 图片20
2019-8-20 08:24

前些日子听说Vita哥哥的小表哥去参加了一个编程比赛,他妈妈跟我说里面有一道题涉及了负数次方的概念,小家伙不懂,所以没做出来,有点遗憾。


我忽然觉得这是个很有趣的问题。


负数次方其实并不是一个独立的概念,只不过是把指数扩展到了负数而已,就好像我们可以把加减乘除运算扩展到负数一样,它一定是能够从已知的一些规律推导出来的。 

一年半之前,我跟Vita哥哥推导过 两个负数相乘的规律 。简单总结一下:


首先,我们知道乘法就是连加,那么我们很容易把其中一个乘数推广到负数,例如: 
 

如果另一个乘数也推广到负数,我们可以把其中一个负数的乘数写成两个正数的差,然后用乘法分配律展开:

现在用刚才一个乘数是负数的计算方法,分别计算1x(-5)和8x(-5),就可以得到(-7)x(-5)=35:

通过这个例子,娃学会了怎样使用数学语言来进行推理(尽管这并不是一个严格的证明),我觉得这是一个很重要的数学能力。


好了,那么这次的问题就是:


我把问题写在了白板上,希望他能够尝试自己想一想。


一开始他也找不着思路,我提示他可以回忆一下,当两个底数相同的幂相乘的时候,指数是怎样变化的。有了这个提示,他最后还真的给做出来了,虽然推理过程写得十分混乱,你们感受一下:



这个推理的核心都在画红圈的地方,我来替他整理一下。 
 

首先,底数相同的两个幂相乘,指数是相加的关系,我看到他在上方写了几个例子,比如10²x10³=10⁵,但是令我比较意外的是他把这个规律写成了两条公式:



Hmm,不简单呐,说明已经有一定的代数思想了。 
 

后面的推理大致是这样的:


如果设a和b互为相反数,比如2和-2,那么就有:


到这里,他把n用我问题中的数2代入,于是有:



两个数的乘积等于1,说明它们互为倒数,因为2²=4,所以: 
 



Bingo! 
 

好吧,既然你已经有了代数思维,那不妨进一步总结一下这个规律如何?


不错不错,就是这个啦:


既然有点上道了,那么就再来个进阶的吧:


好了,这次是问2的1/2次方等于几? 
 

其实思路跟之前差不多,我就没多提示了,哄妹妹去午睡,出来之后我看到了这个: 
 

Bingo!

整理一下:

因为2的1/2次方乘以它自己等于2,所以2的1/2次方等于2的平方根

到这里,我们又可以追问了,这个规律能不能总结成公式呢?

基本上能写出来啦,只不过,a次根号这个写法Vita哥哥是不会的,是我告诉他这么写的,没办法,这个实在有点超纲啦。。。

娃在解决这两个问题当中所展现的代数思想让我感觉惊喜了一下下,毕竟代数属于比较高级的抽象。


小朋友学数学,首先是从具体的东西开始,比如点数,或者掰手指来算加减法。接下来,我们要学习把数从具体的东西中抽象出来,也就是说,在算加减乘除的时候,脑子里关心的是数字,而不再是具体的东西了。


再下一步,我们要学习把数的结构和关系从具体的数中抽象出来,也就是说,我不再关心具体是什么数,我只关心结构和关系,什么数放进去都满足这样的结构和关系——这就是代数


数学就是这样一层一层抽象上去的,每抽象一层,再看前一层的东西时,就会犹如居高临下,拥有了一个新的视角。


比如说,说到偶数奇数,从代数的视角来看,就是2n和2n+1(n是整数),用这样的结构去推导很多性质就非常容易了,比如 加减法的奇偶性 ;说到一个三位数,那就是100a+10b+c(a是1~9的整数,b、c是0~9的整数),进而你可以由此理解各种进制的本质……


你看到了更多本质的东西,这就是代数的魅力。


所以,如果娃的抽象思维能力还不错,了解一下代数的思想还是很有必要的,说不定就打开了什么新世界的大门。


Vita哥哥从图书馆借到了一本很不错的书,他很喜欢看,了解一下:


代数任我行1012人有 · 评价162 · 书评6(英) 卡佳坦·波斯基特 著;(英) 菲得浦·瑞弗 绘;李建广 等 译


可怕的科学系列应该是很有名的,这本讲代数的也是这个系列一贯的风格——各种无厘头和冷笑话

,娃看完经常会记得这些桥段,比如这张讲二次方程解法的图:

他看完就经常跟我叨叨那个什么“应急按钮”,神秘兮兮的,哈哈,应急按钮到底是啥呢?原来是那个求根公式

除此之外这本书还有很多有趣的内容,比如帕斯卡三角(杨辉三角)与N次多项式系数的关系:

以及函数和图像

对于小学生来说,内容虽然还是有点难度的,但是架不住很多地方确实很搞笑,感兴趣的话买一本看看吧。

数学家庭教育探索
回应6 收藏65
1月前
牛娃
1月前
👍👍👍👍👍
1月前
👍👍👍👍
1月前
👍👍👍👍
1月前
太厉害了👏👏👏👏
1月前
厉害的娃!我都看不懂.......
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