一道美国数学竞赛题的解法与策略
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2018-7-26 04:39

闲来无事,我找了点数学竞赛题热身。本来以为小菜一碟,没想到险些阴沟翻船,晚节不保。

这是2000年美国10年级(约高一)数学竞赛第12题:https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=2000_AMC_12_Problems/Problem_12

题:A、M和C是非负整数且满足A+M+C=12。(AMC是美国数学竞赛的缩写)。AMC+AM+MC+AC的最大值是多少?(选择题,五个选项)

很显然,由于是选择题,只要给对答案即可。题目中的三个未知数是完全轮换对称的,因此第一感就是猜A=M=C=4,代入一算,得到112,选E。秒解。这倒题目的选项还是出得很有良心的,112就是最大的选项,一算出来就百分之百肯定是对的,没有故意弄个更大的数来迷惑考生。如果是我参加竞赛,肯定毫不犹豫就这样解决了。

实际上网页上解法2就是这个思路:

当然出于学习目的,应该探究一下如果是解答题,如何做出来?很明显这是一道初等数学题,要用“凑”的方法寻求巧妙解法。我二十多年没有搞中学数学竞赛了,猛一看没看出门道来,没了耐性,出于惰性,还是马上祭出了高等数学的法宝:)

(出于习惯用X、Y和Z代替A、M、C三个字母)这个问题是个线性约束条件下的非线性函数最大值问题(非线性规划)。高等数学的标准方法是用约束条件去掉一个未知数,然后目标函数对各个变量求偏微分,每个偏微分等于0,大致就是解。(严谨的说这个解可能是最大值,也可能是最小值,也可能是局部而非全局最大/最小值,二阶偏微分有时要用到。不过这个问题由于在正整数空间,应该不会太怪异,先解下去再根据情况再作分析。)

把Z=12-X-Y代入XYZ+XY+XZ+YZ,整理得到11XY-X2Y-XY2+12X+12Y-X2-Y2(这里X2表示X平方),求这个函数的最大值,约束条件是X和Y都是非负整数,且X+Y<=12。X+Y+Z=12这个条件不用再考虑了。

目标函数对X和Y分别求偏微分,令其等于0,则得到:

11Y-2XY-Y2+12-2X=0 (×)

11X-2XY-X2+12-2Y=0

计算要时刻注意X和Y必须是完全平等的,即轮换对称的。比如第一个式子里是11Y,如果第二个式子里是12X,那么一定有计算错误,应马上返回去检查。

第一个式子减去第二个式子,整理可得:

(X+Y-13)(X-Y)=0

很明显X+Y-13=0不成立,因为那意味着Z=-1。故X-Y=0,X=Y。同理可以证明Y=Z(用X=12-Y-Z代入目标函数消去X,后面的解法完全一样),所以X=Y=Z=4。或者将X=Y代入上面(×)式,可以解出X=Y=4,故Z=4。

(其实还需要讨论二阶偏微分,才能确定是最大还是最小值。另外由于只有一个解,存在多个极大值的可能性也基本没有了。大致如此,严谨的表述在多元微积分教材里能找到,不过对这道题就显得牛刀杀鸡了,我懒得去找了。)

这个高等数学的解法,求解计算有些繁琐,但完全不用动脑子,机械算下去就是了。由于很久没有搞这样的计算了,我算得小心翼翼,一步一验算,花了大约10分钟完成,比预想的多了一倍。

作为完整性补充,这里给出一个初等数学解法,也就是网页上的解法1:

事后诸葛亮看这个技巧并不高深,应该能想到。只不过我已经多年习惯用手头有的高级工具通用方法解答问题了,针对每个问题构造不同的初等方法,很累人,不太愿意用了。这就好比会了二元一次方程,谁还用凑的方法去解鸡兔同笼问题?:)

归巢鸟文

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3月前
我在看这题的时候,觉得这题非常奥数化,所谓奥数化就是他必定有捷径,看题目在求值上,都是A,M,C占据旗鼓相当的位置,而合竟然是12,能被3整除的数。以我们的经验,当两数和一定时,只有值越接近乘积越大。所以题目刷多了的孩子应该会立刻反应这三个数都是4。
3月前
原来您开始也是这么想的,我感觉我班门弄斧了☺
3月前
Rongmei 我在看这题的时候,觉得这题非常奥数化,所谓奥数化就是他必定有捷径,看题目在求...
对 这就是标题里说的策略 对选择题而言😀
3月前
归巢鸟 对 这就是标题里说的策略 对选择题而言😀
请您帮忙提供一些趣味化培养低年级小学的奥数题目的下载方式吧!我记得您曾经提供过一些真题。我发现很多奥数机构都是在一味拔高,没有一点趣味性。失去了奥数的意义。一直觉得奥数是非常有趣的。题目一定要是英文的,孩子中文看得不太明白,既然都考英文的就不想费力去理解中问题了。谢谢
3月前
Rongmei 请您帮忙提供一些趣味化培养低年级小学的奥数题目的下载方式吧!我记得您曾经提供...
这个真有些难了,因为我孩子还小,不到两岁,所以我现在只是在四处看看,没有系统调研。我的大致想法是两条路线:一条是竞赛真题,另一条是按数学知识分类学习,比如代数,几何,数论等。http://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=AMC_Problems_and_Solutions 这个网还是不错的,主要是初高中的,还提供了一些参考书卖。https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=List_of_United_States_elementary_school_mathematics_competitions 提供了很多美国各地小学数学竞赛的内容,可以看很久,我还没有研究过。另外就是maa.org了。另外是不是欧洲有些国家的资源不错,不清楚,也许有用。我觉得只要是正规竞赛的题目其实都是有趣的,关键是老师能不能讲出趣味来:)按数学知识分类学习,我打算将来找些比较好的书,在亚马逊或类似网站上买。
3月前
谢谢,再问一下,当三正数之和一定时,只有三数相等成绩最大,这个理论是用什么原理推出来的?有点想不起来了,或者从来没有学过
3月前
Rongmei 谢谢,再问一下,当三正数之和一定时,只有三数相等成绩最大,这个理论是用什么原...
https://baike.baidu.com/item/%E5%9D%87%E5%80%BC%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F
几何平均数不超过算术平均数,只有几个数全相等时二者才相等。三个数和为常数时,算术平均数为常数,几何平均数是三数乘积的立方根,故三个数的乘积在三数相等时达到最大。
3月前
谢谢,好像到了高二或以上的内容了。
3月前
看到这题,第一想到的是等边三角形和等腰三角形的面积大小对比,因为知道等边三角形面积最大,直觉告诉我就是x=y=z=4.
3月前
因为是选择题难度下降不少,像我们大人题感好一些的都会看出A,M,C无差别然后计算出来,如果是证明题就麻烦一些了。我特地买了一本数论的书打算自己看,感觉这部分内容校内教材讲的很少
3月前
灰灰216 因为是选择题难度下降不少,像我们大人题感好一些的都会看出A,M,C无差别然后计...
大学还是中学的数论?
3月前
数学系毕业,只能看懂大概,白学了
3月前
归巢鸟 大学还是中学的数论?
大学的,两潘的那本,数论教材怕是没有适合中学的吧😭
3月前
我有一个更简单的初等数学方法。几何平均小于等于算数平均。所以对于题目AM<=(A平方+M平方)/2,且当A=M时取最大值,所以依次类推,A=M=C时,答案最大
3月前
老和尚和小和尚 我有一个更简单的初等数学方法。几何平均小于等于算数平均。所以对于题目AM<=(A...
AMC三数乘积,你怎么处理的?😀
3月前
灰灰216 大学的,两潘的那本,数论教材怕是没有适合中学的吧😭
美国亚马逊上找到一本号称中学生看的,不知道内容如何:
Introduction to Number Theory
https://www.amazon.com/Introduction-Number-Theory-Problem-Solving/dp/1934124125/ref=sr_1_2?ie=UTF8&qid=1532698841&sr=8-2&keywords=Introduction+to+Number+Theory
3月前
归巢鸟 AMC三数乘积,你怎么处理的?😀
一样的,AMC<=(A的立方+M的立方+C的立方)/3。当A=M=C时,几何平均数最大。更一般的,a1a2a3...an<=(a1的n次方+a2的n次方+...+an的n次方)/n,且a1=a2=...an时,取最大值。
3月前
老和尚和小和尚 一样的,AMC<=(A的立方+M的立方+C的立方)/3。当A=M=C时,几何平均数最大。更...
问题是题目是二次项三次项混在一起 不能像你这样分开解决 必须像解答那样同时考虑。比如你让AMC是达到最大了,但某二次项比如AM就不能同时达到最大了,因为如果你让A=M=6,才能让AM最大,而不是4。当然这样AMC又变小了。所以要统筹规划,所有分项同时考虑😀
3月前
归巢鸟 问题是题目是二次项三次项混在一起 不能像你这样分开解决 必须像解答那样同时考虑...
没有关系,就是四个乘法项每个都达到最大值则和最大。所以四个不等式连排,全等即可。
3月前
老和尚和小和尚 没有关系,就是四个乘法项每个都达到最大值则和最大。所以四个不等式连排,全等即...
AMC在每个都是4时达到最大 因为三个数和是常数。但此时另三个都不是最大 比如AM要在都是6时才最大,请注意A+M并不是常数。这四项不能同时达到最大。请看文中最后一张图的解法 是把四项同时考虑。
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