聊聊数学那些事(2)
原创 , 图片5
2017-1-12 17:22

上周写的一篇关于数学的无聊文章没有想到会被小花生网发布到微信公众号,引起了很多爸爸妈妈的关注,这着实出乎我的意料。我收到了大量的评论和问题,所以我想应该继续把一些观点和心得写下来,回答大家的一些疑问,对某些观点也可以进一步阐明我的想法。


在开聊之前,有一点需要事先声明一下,小花生微信号的标题有误,我并没有在国际奥数大赛上获奖,我只获得过奥林匹克物理竞赛的奖项,当然当年一直是中学奥数,奥物和奥化竞赛班的学生。我写的不是很清楚,让编辑可能误解了。


下面先把上次的那道小学四年级的数学题的答案和解题思路讲一下,说明一下这只是一个快速简单的不严格的解题思路,因为当时我在地铁上,只能这么简单的推理一把,严格的证明要比这复杂的多。限于篇幅和数学公式的文本编辑太麻烦,暂时先不把严格证明搬上来了。我希望大家多关注一下我的思路而不是答案,答案不重要。我个人认为这还是一道出的比较好的奥数题,不是什么乱七八糟的脑筋急转弯,也不是简单的把中学数学提前搬给小学生做的那种。但是这毕竟是面向中学生且学有余力的学生的奥数题,而不是小学生应该来搞明白的问题。


题目:动脑筋,下图是由圆组成的一个五环,请将数字1-9填在五环中的九个空白处,使每个圆中所填数的和都相等,求这个相等的和的最大值和最小值。




答: 考虑到左右两边的两个圆仅仅有两个数字相加,中间的三个圆有三个数字相加,因此要得到相等和的最小值,必须把最大的9放到最边上的圆中,否则9放在中间三个圆中得到的和必然大于9放在最边上的圆中得到的和。同理次大的8也要放到另一边最靠边的圆中。考虑到1和2是最小的两个数,因此1和9,2和8组合起来放在最边上的圆中等于10,所以和不会小于10。首先讨论10是最小值的可能性,如果10是最小值,剩下的数字就是3,4,5,6,7,任意三个数字放入中间的圆得到的和都大于10,所以10不是最小值。因此继续考察最小值是否可能是11,11可以被分成2和9,3和8,分别放到最边上的两个圆中,剩下的数字1,4,5,6,7,尝试放到中间三个圆中,得到下面两张图的排列(其实是一样的,因为图形是对称的,第二张图是第一张图反过来排列),所以最小值是11.




现在来考察最大值,要得到最大值,8和9也必须放在最边上的圆中,理由同上,因为9或者8放在中间的三个圆中,会使得中间圆的和大于最边上的。考虑到8和9是最大的两个数字,组合为17,因此和的最大值必然小于17(不会等于17,否则另一边的圆就没有办法放数字了),并且8和9要分别放在最靠边的两个圆中。首先考虑最大值为16的可能性, 16可以分为7和9,8和8两个组合,因为8会出现两次,所以16不可能为最大值。继续考察15为最大值的可能性, 15可以分成6和9,8和7两个组合,剩下的数字为1,2,3,4,5。这五个数字最大的3,4,5加起来放到中间的圆也只有12,所以无法保持相同的和,因此15也不是最大值。继续考察14作为最大值的可能性,14可以分成9和5,8和6两个组合,剩下的1,2,3,4,7,尝试放到中间的三个圆中可以得到下面两张图的结果(同样是对称结构),所以最大值是14。




看完解题思路和答案,大家可以清楚的发现这么几个问题。首先整个过程中用的计算是非常少的,20以内加减法水平。但是孩子算术算的再快再准对解题也是毫无帮助的。其次我在分析过程中的思路大量使用了反证法,这是典型的逻辑推理,特别是9和8要放在最边上的两个圆中是解题关键思路,其实就是要减少变量的数目,这是核心思想,小学生要能理解和运用是有困难的。最后就是最大值和最小值的讨论,这是典型的高中需要培养的复杂问题的讨论,这种讨论对于高中生而言是必备的能力,但是对小学生而言太难掌握了。有兴趣的朋友可以把这道题给学奥数的小学生做做看,但是注意你让他/她自己解释清楚思路看看,光有答案可不行。另外还是要强调一下,这只是一种简单的推理,而不是严格的证明,严格的证明要用到更加复杂的中学数学工具,小学生就更加难以接受了。好了,下面继续开聊如何学好数学,当然核心观点都是关于提高数学能力的,和应试这种无聊话题关系不大。我的观点其实就是来自于常识和自己的经验,没有什么高深的理论。喜欢的朋友可以看看,不喜欢的也就一笑了之,不用太在意。


问1:什么是数学的美?

答:伽利略说“数学是上帝用来书写宇宙的文字”,所以数学是非常优美的。所谓数学的美就是两个字“简单”,越简单越美。这里数学的美有两层含义,一层是很多数学问题的结论、定理是非常简单但是却意义很深的。例如勾股定理,简单的一个公式就揭示出一个普遍规律。另外一层含义则是数学问题的证明或者解答过程是否简洁。优美的证明过程可以用一个缜密而简单的过程解释一个具有普遍意义的思想方法。例如方程概念的引入使得数学应用的一些建模问题抽象为简单的解一个等式。一个小学生一旦学会了用方程的概念来看应用题,会发现很多应用题的解答变的非常容易理解。又例如极限概念的引入和运用到对变量的分析中,自然就推演出微分和积分的方法,从而使的我们研究变量的关系变的容易的多。所以我们常常会发现一些数学问题虽然已经被解决了,但是数学家还是会继续研究是否有更加漂亮的解法,目的就是为了追求数学的美,为了追求更加普遍的意义。所以学习数学就是追求真理之美的过程。这个问题的清楚认识对于我们为什么学数学,培养数学兴趣,怎么学好数学有很大的意义。


问2: 为什么数学学习要强调一道题目多种解法?

答:一道题目多种解法(一题多解)是学好数学的一个非常好的方法。因为数学的学习的一个关键是学习过程和思路,答案是不重要的。但是数学问题的解决思路和过程绝对不是唯一的,相反是多种多样的。从数学家的角度来看,不同的方法往往意味着不同的理论。而从学生的角度来看,不同的方法意味着思路的拓展和兴趣的培养。这种方法看似费时费力,但是对于提高学生的数学能力是非常关键的,长期训练效果显著。我们现在的数学教育喜欢谈标准答案,其实真正的数学根本没有标准答案,只关心你是如何到达那个结果的。通过一题多解,孩子很容易进行不同方法的比较,从而找到最简单的方法(也就是最美的解法),或者最具有普遍性的解法,或者最容易理解的方法。鼓励孩子用不同的方法解题,他们对问题的理解和数学工具的运用就会越具有创造性和灵活性。例如就拿上面的那道奥数题来说,我的严格证明就运用了另外的算法,整体思路也是减少变量的数目,但是我通过研究中间的三个圆的和,从而确定中间几个位置的数量关系来解题的,好处是运用数量分析证明严密,缺点是复杂不漂亮。我相信应该还有更加严密且优美的解法,有兴趣的朋友可以继续尝试。说句题外话,真正的国际奥林匹克数学竞赛是没有标准答案的,每个参赛队的方法都可能是不同的,最后的评分是由领队来讨论的。


问3: 为什么启发式的教与学对于初学数学的人是个好方法?

答:数学能力不是天生就强的,是需要长期慢慢的培养的。刚刚学习数学的孩子,语言能力有限,阅读能力不强,逻辑思维还处于低级水平。让他们一下就接触复杂的逻辑推理是不可能理解的,容易产生畏难情绪。另一方面强行灌输所谓标准答案更加不可取,孩子的学习积极性完全被抹杀,通过记忆和背诵来学习数学无异于思维自杀。家长和老师应该启发孩子自己动脑筋,想办法,鼓励他们一步一步的从简单问题推导到复杂问题,甚至于是没有学过的问题。下面的对话是我和刚上小学一年级的女儿的几次数学辅导中摘录的,希望对别的爸爸妈妈有一些启发。当然每个孩子情况不同,启发的方式也是因人而异的。

父: 你们这几天好像学习了进位加法,能给我你的速算卷子吗?

女:好的,可是我算的很慢,后面都没有来得及做(哭脸一张)

父:没有关系,爸爸小时候也算的很慢,读大学时还要数手指头呢。别担心,爸爸教你。

女:(拿出卷子,5分钟60道20以内加法题目,1/3题目没有来得及做,老师眼中典型的数学差生)

父:做的不错嘛,前面都对的,就是后面来不及做了,没有关系。现在来做一下后面的吧,7+8=?你能告诉我一下你是怎么做的吗?

女:等于15, 把8分成3和5,然后。。。。(憋了半天无响应)

父:然后7和3怎么样?

女:7和3加起来等于10,再和5加起来等于15。(终于想起来了)

父: 很好,你以后就要这样完整的告诉我你是怎么想的,然后再告诉我答案。我问你为什么8要分成3和5啊?为什么不能分成4和4啊?

女:因为3和7加起来等于10。

父:那为什么要有一个10呢?

女:。。。。。(长时间的沉默)

父:想想看10加几等于几啊?

女:10加几就是10几。

父:简单吗?是不是10加几是不用计算的,一看就知道了?

女:是的,所以10+5=15。很简单。

父:如果8拆成了4和4,会这么简单吗?

女:不会,7+4=?不知道是什么。(很开心的样子)

父:所以进位加法关键要凑一个10,我们再做一道9+9=?

女:9可以分成8和1,1和9加起来等于10,10加8等于18。(开始得意忘形),那16+6等于多少啊?(信心开始膨胀,准备挑战她老爸了)

父:你自己算算看呢?

女:老师没有教过,我不会做。

父:没有关系,你试试看,做错了爸爸不怪你。

女:23

父:错了,不过只差一点点。

女:22

父:你太厉害了,告诉我你是怎么做的。

女:16可以分成10和6, 6+6等于12,12加10等于22。

父:你的数学真厉害,20以上的加法也会了。为什么12+10=22?

女: 12可以分成10和2,10加10等于20, 20再加2等于22。

父:是不是进位加法都是一样的?很简单吧。

女:是的,要凑10,10加几就等于10几很简单。(以下省略一千字.。。。)


问4:为什么说数学最重要的是逻辑推理和空间想象能力而不是计算能力?

答:首先计算能力是数学能力的一部分,但是只是无关紧要的次要部分。尽管数学发展史上计算是一个重要的方向,但是那是在电子计算机发明之前的故事。古代人类有大量生活和工程计算的需要,因此围绕计算领域出现了很多重要的方法和成果,例如圆周率的计算,对数和指数的发明和应用。但是自从电脑发明之后,计算数学早就开始转移到算法的研究上了。其次,更多的数学问题其实和计算几乎毫无关系,例如排列组合,概率论,几何学。这些学科用到的计算最多就是加减乘除四则运算,但是对于逻辑推理和空间想象能力要求极高。我是从事软件研究工作的,算法是天天打交道的,可以说现代的算法和数字计算能力几乎没有什么关系,反而是多样性的思维,缜密的逻辑推理,和空间想象能力对于算法创新和理解意义重大。还是回到上面那道奥数题,计算水平只有20以内的加减法,现在一些幼儿园的“牛娃“算的都比我快,可是有人觉得他们能够做这道题目吗?

因此逻辑思维和空间想象能力才是从小需要认真培养的。这两种能力有先天的因素,但更重要的是后天的培养。逻辑思维和空间想象能力不仅仅只依靠数学培养,语文,音乐,绘画无一不是在培养这些能力。 一个人从小就应该从各种学科学习开始,系统性的逐步构建起逻辑思维。这对数学学习至关重要。而其中语文的重要性是不言而喻的,因为它是所有学科之母,很难想象一个连阅读理解都有问题的人,怎么能找到问题,分析问题,回答问题。

落实到具体的内容,我自己的经验是,培养逻辑和空间想象力最好要让孩子多观察,多动手,多表达。具体做起来就是从学龄前儿童要多搭积木,变着花样的玩积木(看图搭积木,没有图自己搭积木),要看图讲故事(故事要尽量完整),多带孩子接触大自然,不要打断他们的观察,不要打断他们的说话。让孩子尽量在玩耍中接触外部世界。推荐一套德国的逻辑玩具,“逻辑狗”,我和女儿在幼儿园阶段玩了半年,感觉内容难易适中,女儿很喜欢,做的也很不错。到了小学阶段,还是要强调在玩中学,在生活中学。各种棋牌类游戏,乐高玩具,3D Puzzle,各种机械模型的拆和装,自己编故事讲故事,鼓励孩子自己提问题并引导他们自己去分析和解决问题(这一点尤其重要,问题是最好的开始),等等都是培养逻辑和空间能力的好方法。中学阶段以后,要教授和引导孩子自己完整的提问题,分析复杂问题,查找和比较不同的解决方案。总之不要老想着大量刷数学题,搞数字启蒙就能培养什么逻辑思维能力。相反应该把孩子眼睛,脑袋和手都调动起来,从形象思维入手解决抽象思维的问题,而不是因为数学抽象所以就要抽象的学,那是永远都学不好的。

坦白的说,数学能力的培养是一个长期和缓慢的过程,这是由人的生理特性决定的,抽象思维能力要上了初中以后才能逐步成熟起来,严格意义上的数学是要晚学而非早学的。所以在中学之前我们要做的是逐步的为严格的数学学习做逻辑思维的准备,而不是早早的让孩子学超过他们能力范围的知识。那种以为学的多,学的深就是学的好的思想是害人不浅的。现在流行的育儿“抢跑”方式,在真正的数学学习中是毫无用处的。


问5:我孩子数学课上都听的懂,可是题目样子一变就不会做了,这是什么原因?

答:免不了还是要回答几个应试的问题。其实这是孩子上课就没有听懂。什么是数学真正听懂了,理解了?就是无论题目变成生么样,我都知道你老师想考我什么。一个简单的方法(这个方法我读书时自己经常用),就是同样的题目、定理或者结论变换着问题问自己,看看自己是否都能回答。例如我女儿说她会7+8=15,其实不能算真懂加法了,我还问她那8+7=? 8加一个不知道的数字等于15,那个不知道的数字是几?你有8块钱,爸爸给你7块钱,你总共有几块钱?现在你给营业员15块钱,一支笔要7块钱,营业员要找给你多少钱?等等。最重要的是孩子要讲出来这里面的关键思路或者核心思想是什么,当然家长要引导,尤其对于比较小的孩子。一旦孩子自己能发现那个关键点,这就说明他/她真懂了。永远记住思考过程比答案重要的多。


问6:我孩子现在数学成绩不好,该怎么办?

答:这个问题太宽泛,不大好回答。因为具体人和事情要具体分析,不能一概而论。我拿我自己的一个例子来说明,看看能否有启发。我在读大学和研究生时分别给准备小升初考试,中考和高考的三个孩子补习过最后一个学期的数学。当时那个小学生是数学“学霸”,而另外一个初中生和一个高中生都是数学“学渣”。由于时间有限,我把他们所有近一个学期的数学测验和考卷全部拿出来,把做错的题目全部过一变。我和孩子们一起分析后发现,那个“学霸”小学生数学很不错,就是很粗心,所以我就强迫让他在计算时打个草稿,不许检查,不许做的太快,必须一次成功。同时和他谈心,会做的题目做错是不是很郁闷。几个星期下来情况就有所好转。而数学知识点则谈的不多,适当给他拓展了一下思路。而另外两个孩子确实基础比较差,问题主要是概念不清,不真正理解知识点,解题思路呆板。我的方法就是从头来过,帮他们第一理清概念,第二反复错的题目整理思路,同时让他们自己归纳思路和关键点,然后讲给我我听。通过不断对他们提问,让他们的脑子转起来,让他们自己审视自己的思路。人的潜力是很大的,一旦概念清晰了,自己开始动脑子整理思路了,数学成绩立马提高。最后三个孩子都在考试中考出比自己原先高的多的水平,上了自己心仪的学校。


罗罗嗦嗦又写了6个问题,主要都是关于如何学数学,以及进一步阐述我的数学学习理念的。我不是教学经验丰富的数学老师,只是一个数理化学习经验丰富的学生。我的切身经验告诉我,数学不难,数学很美,学习数学其乐无穷。但是学习数学一定要有好方法,要以兴趣为罗盘,扬起逻辑思维的风帆,享受思考的过程,直达真理的优美彼岸。我想让我的女儿能够同样享受我所享受过的数学乐趣。希望各位家长和老师也能帮助你们的孩子和学生享受追求真理的快乐。




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5月前
16+6明明是把6拆成4+2容易啊,凑十法一般拆小的数啊。
5月前
Lucky_gjy 16+6明明是把6拆成4+2容易啊,凑十法一般拆小的数啊。
大概爸爸是为了鼓励女儿,培养女儿的学习兴趣,所以先肯定女儿的方法!不过女儿的方法也没错啊!
5月前
但是孩子的解法还是没有掌握方法的表现,巧算不是求最简方法么,不然直接口算不用技巧就行。
5月前
嗷嗷嗷嗷,学习了!一句话很对,答案不重要,重要的是解题方法。思路很重要
5月前
一题多解的训练方式再赞同不过了!
5月前
Lucky_gjy 但是孩子的解法还是没有掌握方法的表现,巧算不是求最简方法么,不然直接口算不用...
我女儿也是拆成6+6 因为对她来说算6+6比算16+4要容易
5月前
我的数学就很渣,渣到150分满分考30分,从没见过数学老师黑眼珠(全是白眼)。但是我偏偏对数学还是爱
5月前
谢谢该爸爸认真为我们梳理了那么多观点!学习了!
5月前
跟上篇一样,仔细拜读了,除了开篇解题部分😄😄btw,我女上回听算个6+6,她想半天结果居然是在回想9+9=18,然后9-8-7-6倒推回来求结果。我我我。。目瞪口呆!这是个什么情况?
5月前
温2010 跟上篇一样,仔细拜读了,除了开篇解题部分😄😄btw,我女上回听算个6+6,她想...
这很正常,小朋友容易走神,很多所谓粗心都是走神或者仍然沉浸在上一道题目而已,我女儿也如此,而且我大人也会走神,不必在意。关键是她能告诉你思路或者意识到粗心就可以了。
5月前
Lucky_gjy 16+6明明是把6拆成4+2容易啊,凑十法一般拆小的数啊。
数学无定式,我已经说过了要鼓励多种方法,不管什么方法能够有合理的思路即可。书本上的方法是死的,小朋友只要觉得哪种方法他容易理解就是好方法。
5月前
老和尚和小和尚 这很正常,小朋友容易走神,很多所谓粗心都是走神或者仍然沉浸在上一道题目而已,...
她告诉我因为当时一下想到9+9=18,然后8-7-6依次减下来,每次减2,16-14-12,减一次扳一次手指,扳手指只需要扳3次;凑十法吗,6拆成4和2,拿4去凑,为了数清楚4,扳手指需要扳4次。我有点晕,这思路。。是不是太奇葩了一点。。
5月前
温2010 她告诉我因为当时一下想到9+9=18,然后8-7-6依次减下来,每次减2,16-14-12,减一...
一点不奇葩,你女儿真棒!因为她发现6+6,7+7,8+8到9+9的规律都是相差2。而9+9可能比较熟悉,所以就倒推下来。小朋友的方法往往都是他们容易理解的,要鼓励,要表扬。可以适当启发一下加倍的概念和乘法的概念。另外小朋友喜欢数手指头是很正常的,个人认为不用强行禁止除非她不愿意想别的方法。
5月前
老和尚和小和尚 一点不奇葩,你女儿真棒!因为她发现6+6,7+7,8+8到9+9的规律都是相差2。而9+9可...
哦。。不过让她自己去比较一下凑十法和她这个奇葩方法,哪个比较快捷有效呢?我是觉得,毕竟,方法不同,但是效率似乎有高低?
5月前
老和尚和小和尚 一点不奇葩,你女儿真棒!因为她发现6+6,7+7,8+8到9+9的规律都是相差2。而9+9可...
再次仔细通读了您的全文。很认同!但是实际中,因为自己的数学素养和能力有限,不能对孩子做到很有效的引导,比如,孩子从9+9=18倒推计算6+6的例子,我没能像您一样敏锐地意识到孩子发现2的变化的规律、以及对倍数和乘法概念的引入介绍时机,当时有点傻了,不知道该怎么办了,只能胡乱按她们数学课的要求,“引导”孩子按凑十法算了,后来才亡羊补牢跟孩子一起把两种方法比较了一下,看哪种更快速有效;并拓展了一种把6拆分成5+1的算法(因为发现孩子对5-10-15-20的递进敏感)。另外,反省自己,虽然口上说不在乎成绩,实际上意识里可能还是功利了,怕孩子思路太发散做作业和考试时时间来不及所以强行“引导”最快速的算法了。所以想想,平时学习时还是应该多给孩子自由,启发思路为主(也许可以引导孩子比较不同方法的不同之处、以及效率高低?)。有个不情之请:您可以在空的时候,多写写这类文章吗?尤其是您指导孩子的实例,比如上面您引导您自己女儿的实例,以及辅导小、中、高考三个孩子的实例,特别有帮助,从中可以学习到您的思路、方法。anyway,非常谢谢您的费心回复,话不多,但内容很丰富。受益良多!
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