中小学数学为什么是这样的?(上)
原创 , 图片9
2018-7-28 06:00

这个标题写的很奇怪,其实我问的是,为什么中小学数学是这些内容,而不是别的?中小学数学的内容之间往往缺少联系,代数是代数,几何是几何,这是怎么形成的?为了便于理解,先读一段西游记中如来对来到西天的唐僧师徒说的话:

我今有经三藏,可以超脱苦恼,解释灾愆。三藏:有《法》一藏,谈天;有《论》一藏,说地;有《经》一藏,度鬼。共计三十五部,该一万五千一百四十四卷。真是修真之径,正善之门,凡天下四大部洲之天文、地理、人物、鸟兽、花木、器用、人事,无般不载。汝等远来,待要全付与汝取去,但那方之人,愚蠢村强,毁谤真言,不识我沙门之奥旨。”叫:“阿傩、伽叶,你两个引他四众,到珍楼之下,先将斋食待他。斋罢,开了宝阁,将我那三藏经中三十五部之内,各检几卷与他,教他传流东土,永注洪恩。”

细细读这段话,有很多方面颠覆传统认识。首先佛经无般不载,佛经并不是成天讨论些轮回之类的玄乎其玄的东西,而是宇宙大百科全书,是系统的全部相通的知识。其次没有达到一定水平的人类,没法学习全部,只能从各个部分里选一些学习,这些知识可能是零碎不成体系的。但也只能先从这个方式入门学习了。

中小学数学的学习跟这个类似。整个数学大厦经过人类几千年的发展后,各个独立分支比如代数几何都已经高度贯通,成了一个极其庞大又有机融洽的整体。面对这么庞大的体系,中小学在入门的时候只能先从很多零碎孤立的知识点开始学习。这种学习方法很无奈,学习的过程中有心的学生往往不能理解为什么学一些代数,突然又去学几何,来回切换。物理学的学习也有这个特点,但物理学好歹有客观世界对应,学了力学又学热学并不奇怪,而数学较为抽象,在看到全局大厦之前不容易明白为什么要按教材的顺序学习。

我不敢说能看到数学大厦的全局,但至少在学习了不少较为高级的数学知识后,回头去看中小学的数学内容,有半山腰看山底的感觉。数学学的越多,对不同知识点之间的关联就理解的越多。分享一些心得,不敢说是真理,仅仅是个人体会。这些心得不见得对提高中小学数学学习能力有直接帮助,但也许会有些启发意义,或者对“奥数”学习也有些指导意义。

如前所说,数学大厦是一块整体,为了分析方便,只能强行划分一下,大致可以分为代数、几何、分析、拓扑四大块。划分方式没有统一标准,见仁见智。中小学学哪些数学知识,跟阿傩伽叶给唐僧师徒挑选经书一样,并没有绝对或固定的标准,古今不同,中外也不同,而且还要随着数学前沿的发展和热点的变迁而变化。

算术与代数

算术可能是最早的数学了,随着生产的提高而产生,人类产生了计数与加减乘除运算的需要。农业社会下算术取得的巨大发展,比如中国古代社会。各种数的表示法应运而生,其中经过筛选十进制成了最优选择。用抽象的数比如3代表各种不同的东西,比如3可以代表3头牛,也可以代表3只羊,这是数学上的第一次抽象,从具体的东西产生了数的概念,所以我们称这门学科为“数学”。第二次抽象飞跃是代数,用符号代替具体的数,比如X既可以是3,也可以是5。数学的发展规律总是从具体到抽象,从特殊到一般。研究更抽象更一般的情况,可以大大减少信息的储存空间,用较少的原则去处理大量不同的情况。比如1+1=2,可以代表牛的相加,也可以代表羊的相加。

中学基本就学到代数了。跟算术比,代数是更高的抽象,那有没有比代数更高的抽象呢?当然有。代数上面还有“抽象代数”,“代数结构”,“群论”,“环论”等很多高级的数学内容,其中群或环等是一些抽象的“代数结构”。我们中小学学的实数上的加减乘除,仅仅是一种特殊的常用的代数结构,在数学大厦里还有很多别的代数结构,代数结构这门分支就是研究不同代数结构的性质。比如计算机科学里用到的0/1运算,叫布尔代数,就是另一种代数。在这种代数里,有与或两种运算,而且其形式是完全对称的。(中小学的算术里,加法和乘法是不对称的,从分配律可以看出,只有乘法分配律,而加法分配律A+B*C=(A+B)*(A+C)是错误的。但在计算机布尔代数里,两个分配律都是正确的)。计算机的发明与大规模应用,也从一个侧面证明研究不同于我们日常加减乘除的别的代数结构,是非常有必要的。

伽罗瓦

群论的天才创始人法国数学家伽罗瓦

群论:https://baike.baidu.com/item/%E7%BE%A4%E8%AE%BA

抽象代数的研究由于是代数的拔高,所以能够解决在代数领域内的很多难题,比如五次(含)以上的一元方程没有通解公式。抽象代数还可以解决几何问题,比如尺规作图不能三等分角,不能倍立方。这看起来是几何问题,但是两千年内在几何领域无法解决。后来数学家发现抽象代数的内容可以很好的描述尺规作图的能力(直尺和圆规,类似抽象代数里的两个运算),从而一举解决这个问题。

在本科花了一个学期艰苦学完代数结构这门课后,我曾开玩笑的说,如果先学完这门课再上中小学,那算术代数根本不需要学几年,三个月就够了,实在是太太太简单了:)。实际上在数学家研究了抽象代数后,又回过头去对中小学的算术代数系统进行了深刻研究并将其公理化,严格论证了其合理性。

小学生在学加法的时候,最开始可能不理解为什么要相加,为什么相加是对的。学会了以后,很少有人再去想为什么加法是对的,加法在什么情况下是对的。实际上这不是个简单问题。对于可数的东西,比如2只羊加3只羊,2+3=5,问题还算简单,但是对实数尤其是无理数相加,问题很复杂。几何计算问题,比如两块面积相加,从严谨的数学角度要定义清楚并不简单,弄不好就会出Banach–Tarski悖论。(这个悖论就不细说了,可以理解成一个实体球能分成两个一模一样体积的球,这就违反了体积相加原则)。20世纪上半叶数学家在勒贝格积分的基础上完善了测度论,较好的解决了这个问题。测度论是一个更一般的数学工具,严格定义了可测集合可测函数等概念并研究了上面的性质,不仅解决了算术系统的一些可加性问题,也给出概率论的公理化形式描述(在概率论里要面临什么时候概率相加,什么时候概率相乘等问题)。实际上概率论是一种测度总和为1的特殊可测系统,而我们日常生活中的求面积体积等,则是另一种测度总和没有上限的可测系统。

Image result for 勒贝格积分黎曼积分就是最常见的积分形式,一般微积分即学习这个。而勒贝格积分(右)的特点是把相同值凑在一起求乘积,再把各个乘积加起来

平面几何

初中学的平面几何,是古希腊人在逻辑学的基础上发明的,与别的民族比显得很象怪胎。别的民族为了农业研究几何,处于丈量土地的需求,一般侧重于形状面积,而不会像古希腊人那样研究逻辑,甚至尺规作图这样没有多少现实意义的东西。古希腊欧几里德著作《几何原本》里的内容,基本就是现在初中平面几何的框架,是最早的数学公理体系,也叫欧式几何。近代以来,在许多数学家的共同努力下,数学的各个分支都被严密的公理化了,以保证整个数学大厦的自洽性,避免历史上出现了三次的数学危机(第一次由无理数引发,第二次由微积分,第三次由集合论。一旦出现危机,那意味着前面辛苦搭建的数学大厦早就埋下了矛盾的根子在里面,如不能解决则意味着几百年努力白费了)。

由于逻辑化的平面几何非常完美优雅,两千年来一直是数学的必学内容并用以训练思维能力。在解析几何与微积分出现之前,大量的几何问题通过欧式几何逻辑方法研究,大大丰富了人类的知识。比如牛顿对万有引力的推导,就主要用到了大量平面几何知识,他本人也成为人类顶尖数学家。我们看到数学竞赛里总有一些很难的平面几何证明题,这些都是两千年来的积累,有些被直接拿过来出题,有些进行了一些修改。这个领域的题库是巨大的,中学课堂上只选取了一些比较简单的。大学数学基本不会再研究这些东西,因为其公理化的数学思想并不复杂,而难题没有多少通用性。

几何原本在明朝由利玛窦传入中国,徐光启翻译,“几何”一词即当时的翻译。

在数学大厦里,除了欧式几何,还有非欧几何。这是由对欧式几何中第五公设(https://baike.baidu.com/item/%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E5%85%AC%E8%AE%BE?fromtitle=%E7%AC%AC%E4%BA%94%E5%85%AC%E8%AE%BE&fromid=8754490)的否定推出的,主要贡献者是高斯的学生黎曼,所以也叫黎曼几何。非欧几何的实质是曲面空间,比如球面或马鞍形。数学家的研究往往超前于现实,在当时很多人觉得从公理体系角度非欧几何也是自洽的,但是有什么用呢?还是欧式几何更接近我们的直观世界。一百年后爱因斯坦在研究广义相对论时,意识到引力的本质是空间的弯曲,从而恶补了几年非欧几何,完成了广义相对论。从此非欧几何开始被数学界重视,成为数学大厦里的一颗明珠。

立体几何

细心的学生会发现中学的立体几何跟平面几何差异很大,虽然也给出了很多公理定理推论,但是在出题时较少搞复杂的逻辑证明题,而侧重于计算。从训练逻辑思维的角度出发,平面几何的难度就已经足够了,添加辅助线等技巧已经很难了。如果在立体几何里出这样的题目,难度就太高了,过于奇技淫巧。立体几何画图看图都很费力,如果学生给的证明与答案不同,老师批阅起来也够头疼的。所以立体几何没有搞那么多花哨的东西。

球面积,球体积,球冠面积,球冠体积,锥形体积,这些公式的推导,在中学立体几何里都是用了巧妙方法。在大学学习微积分后,都可以用微积分这个通用方法解决。比如回头再看圆锥体积公式里有个系数1/3,这实际上就是平方函数在积分时得到的系数1/3。微积分里的球面积分环路积分等,将代数几何三角融为一体,非常有意思。积分的对象也可以从实数空间推广到复数空间,这也是复变数函数复分析的主要研究内容之一。中学毕业后再学习的立体几何内容,基本上都是跟微积分相关了。人类自从掌握了微积分这个高级而且通用的工具后,就爱不释手了。学会了二元一次方程,谁还用小学奥数凑的方法去解决鸡兔同笼问题?

各种数:整数、分数、有理数、无理数、虚数、复数

我将这部分从上面的“算术与代数”部分分出来,这里侧重于代数结构的操作对象,而非运算性质。(代数结构由操作的对象比如具体的数字和运算比如加减组成)。

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数在历史上的发展壮大,主要是从实用出发(比如整数不够用了,必须要用分数表示一部分东西),同时也有理论上的完备性考虑。比如正整数上的加法具备完备性,怎么加都还是正整数,但减法就不一定了,两个数相减,可能就不是正整数了,所以必须扩展到负整数上。同理整数上的乘法是完备的,但除法就不行了,于是就导出了分数,所有这些统称有理数。面对数轴上的一段,比如0到1,有理数是不是完备的呢?毕达哥拉斯认为是的,但有人发现不是,比如等腰直角三角形的斜边,根据勾股定理是直角边的根号2倍,这个数不是个有理数。这就是前面说的第一次数学危机。后来数学家给出了无理数的严密定义,解决了这个危机。把无理数包括进来,数扩展到了实数。

后来人们发现了更多的无理数,比如圆周率。幸福的家庭都是相同的,而不幸的家庭都是不同的。有理数都显得差不多,而无理数之间差异很大,比如根号2和圆周率就大不相同,后者是超越数,不是任何实系数一元多次方程的根,比根号2更“无理”。无理数是妖怪,有很多诡异的性质。比如有理数是可数(第三声)的,和正整数一样可以按一二三四五到无穷排成一列,但无理数是不可数(第三声)的,不能排成一列(排成一列的严谨数学说法是与正整数集合形成一一映射)。数轴上0到1之间有无数个有理数,也有无数个无理数,每两个有理数之间显然都夹杂着无理数,那如果把所有有理数都搬家,让他们一个挨一个排在一起,长度是多少?这个问题的答案很惊人,是0。也就是说,数轴上无理数比有理数多的多的多,要多无穷倍,有理数根本不占长度。有理数好象是一个个无比小的孤岛,漂浮在无理数的广阔海洋里。如果随机在数轴上选一点,选到无理数的概率“几乎”是100%。《从一到无穷大》这本书里对无理数的这个性质有很多通俗的描述。这个问题的实质,是无穷大也有不同层次的无穷大,无理数在这个意义上要比有理数更大。我在学代数结构关于可数与不可数内容时,看到了一个简洁的证明,然而更严密的论证要在测度论里才能学到,涉及到勒贝格积分和Borel集合等复杂的知识。这个问题再深入研究下去,产生连续统假设,是希尔伯特23个问题中的第一个(https://baike.baidu.com/item/%E5%B8%8C%E5%B0%94%E4%BC%AF%E7%89%B923%E9%97%AE/8268330?fr=aladdin)。

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无理数毕竟还和数轴对应,而虚数/复数要依靠-1的平方根,对中学生而言更加难以理解。由于课本和老师不可能解释清复数的必要性,学生只能强行学下去,就当-1的平方根存在。从前面说的完备性出发,复数是有必要存在的,否则开根号就不是总能算出结果的。这个完备性的理由对数学家就足够了,但对普通人似乎还是不满意。我这里以一元三次方程求根公式为例说明复数的必要性:https://baike.baidu.com/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E6%B1%82%E6%A0%B9%E5%85%AC%E5%BC%8F。可以看到,无论哪个求根公式里,都要出现i即-1的平方根。而且更绝妙的是,有些一元三次方程的三个根明明都是实数,但却必须要用带i的公式才能算出来,在计算过程中共轭复数加减会正好把i都消掉,得到实数解。数学女神好像在说,复空间是真实存在的,实数空间上的有些问题,必须要绕到复空间上才能解决,最后又会回到实数空间。这实际上是用数学建模解决实际问题的常见过程:一旦建模后,推导都在貌似不存在的数学世界内按数学规则进行,推导的每一步不见得对应真实世界,但推导的最终结果可以映射回真实世界。(列方程解方程,可能是最直观的例子。)

在工程应用上,复数最主要的物理含义是相位差,即时间延迟,比如交流电的描述。这是由复数的旋转性质(体现在欧拉公式,下图)决定的。不过在这个应用上,复数不是绝对必要的,因为总可以用两个实数等价表示一个复数,但用复数是最简洁方便的。在这里,复数与几何产生了紧密的联系。

在高等数学里,复数的存在意义是不容置疑的,复分析和实分析一样,是数学分析里的重中之重。

图1(a)图2(b)

保角变换:复变函数论中的一个有趣结论(https://baike.baidu.com/item/%E4%BF%9D%E8%A7%92%E5%8F%98%E6%8D%A2/18984738)。

(未完待续)

归巢鸟文

回应28 收藏98
1月前
学习了。
1月前
看了本体喻体就知道您有大智慧。🙏
1月前
怎么办,每个字都认识,每句话都不懂🤔
1月前
感觉数学都白学了😂😂
1月前
太厉害了,一看就是专业人士的文
1月前
在考虑要不要让孩子看看微积分……
1月前
有看没有懂😁,继续消化
1月前
看了觉得好有意思,期待下篇。
1月前
可以增加一些实用性的建议吗?比如各个领域有什么书籍适合自学,代数、几何。。。
1月前
喜欢这样高屋建瓴的文章,太赞了。期待续篇。如能再给些适合小学生的学习方法,自学书籍及建议就更好了。比较难的是孩子的学习进程要和脑发育相匹配,没到年龄,抽象思维能力跟不上,似乎不是只开拓思维,拔高就能实现的。期待楼主答疑解惑,指点迷津。
1月前
看了觉得自己没学过数学,从来不问为什么,只接受。
1月前
没有完全看懂,但很有意思,精于专业且不卖弄的气质征服了我,等下篇。
1月前
厉害,看过数学与生活,对数的完备性稍有点了解,看了你这个,更清楚了。希望能多推荐些适合自学,还有小学生适合的书看看
1月前
芝麻和HELEN 喜欢这样高屋建瓴的文章,太赞了。期待续篇。如能再给些适合小学生的学习方法,自...
再给些适合小学生的学习方法,自学书籍及建议,这个目前实在困难。上次花编就我写的美国奥数为何大跃进给我发信,希望我能扩充些奥数学习的建议,上公众号,我没敢接下。说实话我没有奥数教育经验,现在看看奥数的东西,主要是为了女儿(还小)将来准备,而且我只打算根据女儿的情况具体教她,没有去想适合大众学生的方法。我目前的主业是人工智能,以前学的数学也大多只有锻炼思维的作用。如果将来有机会有把握,我会写写,现在我只能尝试着把对数学的一些理解用通俗的语言写出来,如果搞教育的能获得一丁点启发,或者学生能得到一些鼓舞,我就心满意足了,不敢奢求太多。
1月前
zl074 在考虑要不要让孩子看看微积分……
多大的孩子?
1月前
非常喜欢 需要细细看。
1月前
归巢鸟 多大的孩子?
小六生
1月前
zl074 小六生
还早吧😀
1月前
说实话看不懂😳等楼主出看得懂的结论和建议。
1月前
归巢鸟 再给些适合小学生的学习方法,自学书籍及建议,这个目前实在困难。上次花编就我写...
谢谢亲的回复。你说的对,其实能根据自己了解的领域实实在在写些东西真的就已经很好很好了。我觉得对我而言很有帮助。期待你的更多分享。像你这样的爸爸是我们的宝啊!
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